Füchs und Hühner (Fox and Chickens)
Füchs und Hühner
Ein klassisches mathematisches Modell
Das Problem von Fuchs und Hühnern ist ein klassisches Beispiel für ein nicht-kommutatives Binomialkoeffizientenproblem. Es geht darum, die Anzahl der Möglichkeiten zu ermitteln, wie ein Fuchs und einige Hähne in einer Reihe anordnet werden können, wobei eine bestimmte Anzahl von Hähnen zwischen dem Fuchs und Chicken Road jedem anderen Hahn platziert wird.
Die Geschichte des Problems
Das Problem von Fuchs und Hühnern hat seine Wurzeln im 19. Jahrhundert, als es als ein Schachproblem aufgetaucht ist. Es wurde erstmals 1872 in einem Buch über Logik und Mathematik veröffentlicht. Die erste Lösung stammt von dem amerikanischen Mathematiker Arthur Cayley.
Die Formulierung des Problems
Betrachten wir das Problem mit n Hühnern und einem Fuchs. Wir möchten die Anzahl der Möglichkeiten ermitteln, wie sie in einer Reihe anordnet werden können, wobei eine bestimmte Anzahl von Hühnern zwischen dem Fuchs und jedem anderen Hahn platziert wird.
Eine Möglichkeit zur Lösung
Einer der einfachsten Ansätze, dieses Problem zu lösen, besteht darin, die Anzahl der Möglichkeiten zu ermitteln, wie ein Fuchs n-1 Hühner in einer Reihe anordnet. Dies ist das sogenannte "Fallsproblem" oder "Fallenproblem".
Das Fallsproblem
Das Fallsproblem geht davon aus, dass der Fuchs alle Hühner fangen kann, wenn er sie erreicht. Es gibt 2^n mögliche Anordnungen.
Beispiel
Betrachten wir das Fallbeispiel mit n = 3 Hühnern:
| Hahn | Hahn | Hahn |
|---|
Der Fuchs kann alle drei Hähne fangen, wenn er sie erreicht. Es gibt also 2^3 = 8 mögliche Anordnungen.
Die Lösung des Problems
Um die Anzahl der Möglichkeiten zu ermitteln, wie ein Fuchs und n Hühner in einer Reihe anordnet werden können, wobei eine bestimmte Anzahl von Hühnern zwischen dem Fuchs und jedem anderen Hahn platziert wird, können wir das folgende Lemma verwenden:
Lemma
Die Anzahl der Möglichkeiten, wie ein Fuchs und n Hühner in einer Reihe anordnet werden können, wobei eine bestimmte Anzahl von Hühnern zwischen dem Fuchs und jedem anderen Hahn platziert wird, ist gleich:
$$ \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor} {n \choose 2k+1} $$
wobei $\lfloor x \rfloor$ die Floor-Funktion bezeichnet und ${n \choose k}$ das Binomialkoeffizient ist.
Die Begründung des Lemmas
Die Begründung des Lemmas basiert auf der Tatsache, dass bei einer Anordnung von Fuchs und Hühnern eine bestimmte Anzahl von Hühnern zwischen dem Fuchs und jedem anderen Hahn platziert wird. Dies entspricht einem nicht-kommutativen Binomialkoeffizientenproblem.
Die Berechnung der Lösung
Mit dem Lemma können wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, wie ein Fuchs und n Hühner in einer Reihe anordnet werden können, wobei eine bestimmte Anzahl von Hühnern zwischen dem Fuchs und jedem anderen Hahn platziert wird.
Beispiel
Betrachten wir das Fallbeispiel mit n = 4 Hühnern:
$$ \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{4}{2}\rfloor} {4 \choose 2k+1} = {4 \choose 1} + {4 \choose 3} = 4 + 4 = 8 $$
Es gibt also 8 mögliche Anordnungen.
Zusammenfassung
Das Problem von Fuchs und Hühnern ist ein klassisches Beispiel für ein nicht-kommutatives Binomialkoeffizientenproblem. Mit dem Lemma können wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, wie ein Fuchs und n Hühner in einer Reihe anordnet werden können, wobei eine bestimmte Anzahl von Hühnern zwischen dem Fuchs und jedem anderen Hahn platziert wird.